Формула корней квадратного уравнения общего вида


Квадра́тное уравне́ние — общего вида где — свободная переменная, — коэффициенты, причём Выражение называют квадратным трёхчленом. Корень такого уравнения корень квадратного трёхчлена — это значение переменнойобращающее квадратный трёхчлен в ноль, то есть значение, обращающее квадратное уравнение в тождество. Коэффициенты квадратного уравнения имеют собственные названия: коэффициент называют первым или старшим, коэффициент называют вторым или коэффициентом приназывается свободным членом этого уравнения. Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент : Полным квадратным уравнением называют такое, все коэффициенты которого отличны от нуля. Неполным квадратным уравнением называется такое, в котором хотя бы один из коэффициентов кроме старшего либо второй коэффициент, либо свободный член равен нулю. Если вы имеете возможность дополнить его значимой информацией либо снабдить необходимыми иллюстрациями или другими мультимедиа, пожалуйста, сделайте. Этим вы поспособствуете развитию статьи. Древний Вавилон Уже примерно за 2000 лет до Вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения. Решение их в было тесно связано практическими задачами, в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами; наличие этих познаний также обусловлено развитием математики и астрономии. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Приведём примеры квадратных уравнений, решавшихся в Древнем Вавилоне, используя современную алгебраическую запись: Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены. Индия Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений, встречаются в трактате по астрономии «Ариабхаттиам», написанным индийским астрономом и математиком в 499 году нашей эры. Другим индийским учёным,было изложено универсальное правило решения квадратного уравнения, приведённого к каноническому виду: ; притом предполагалось, что в нём все коэффициенты, кроме могут быть отрицательными. Сформулированное учёным правило по своему существу совпадает с современным. Корни квадратного уравнения на множестве Общая формула вычисления корней: 1где — коэффициенты; Подкоренное выражение называется при корней два; при корень один в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях ; при корней на множестве действительных чисел. Получение формулы для решения Формулу можно получить следующим образом: Умножаем каждую часть на и прибавляем : Формулы, связанные с корнями квадратного уравнения при чётном коэффициенте b Для уравнений видато есть при чётномгде вместо формулы 1 для нахождения корней можно использовать эквивалентное выражение Действительно, подставим в вышеприведённую универсальную формулу 1 корней уравнения указанное соотношение: Для приведённого квадратного уравнения эта формула принимает вид:. Также при чётном удобнее вычислять значение не целого дискриминанта, а его четверти: или, если уравнение приведённое:. Все необходимые свойства при этом сохраняются: вместо знака «больше» в выражение может быть подставлены и другие знаки: «меньше» или «равно». Подобным преобразованиям можно подвергнуть формулу для нахождения единственного корня при :. Обратите внимание, что для приведённого уравнения можно упростить расчёт следующим образом:. Отсюда следует важное и полезное правило: корнем приведённого уравнения с чётным вторым коэффициентом и равным нулю дискриминантом является половина второго коэффициента. Эти выражения является более удобным для практических вычислений при чётном. Геометрический смысл Графиком является. Решениями корнями квадратного уравнения называют абсциссы точек пересечения параболы. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке в вершине параболыуравнение имеет один вещественный корень также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня. Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня см. Если коэффициент положительный, ветви параболы направлены вверх и наоборот. Если коэффициент положительный при положительномпри отрицательном наоборотто вершина параболы лежит в левой и наоборот. Графический способ решения квадратных уравнений Помимо универсального способа, описанного выше, существует так называемый графический способ. В общем виде этот способ решения рационального уравнения вида заключается в следующем: в одной системе координат строят графики функций и находят абсциссы общих точек этих графиков; найденные числа и будут корнями уравнения. Есть всего пять основных способов графического решения квадратных уравнений. Способ I Для решения квадратного уравнения этим способом строится график функции и отыскивается абсциссы точек пересечения такого графика с осью. Способ II Для решения того же уравнения этим способом его преобразуют к виду и строят в одной графики изатем находят абсциссу точек их пересечения. Способ III Решение этим методом подразумевает преобразование исходного уравнения к видуиспользуя метод выделения полного квадрата суммы разности и затем. После этого строятся график функции им является график функциисмещённый на единиц масштаба в право или влево в зависимости от знака и прямуюпараллельную оси абсцисс. Корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения параболы и прямой. Способ IV Квадратное уравнение преобразуют к видустроят график функции им является график функциисмещённый на единиц масштаба вверх, если этот коэффициент положителен, либо вниз если он отрицателенинаходят абсциссы их общих точек. Способ V Квадратное уравнение преобразуют к особому виду:. Совершив преобразования, строят графики линейной функции иотыскивают абсциссы точек пересечения этих графиков. Этот метод имеет границу применимости: еслито метод не используется. Решение неполных квадратных уравнений К решению неполных квадратных уравнений следует подходить по-особому. Безусловно, для решения таких уравнений можно применять и универсальные формулы, однако принято всё же использовать при их решении описанные методы. Здесь рассматривались случаи с действительными коэффициентами. Об уравнениях с комплексными коэффициентами читайте ниже. Корни квадратного уравнения, в котором сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту Если в квадратном уравнении сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту: ; речь идёт об уравнении с вещественными коэффициентамито его корнями являются и число, противоположное отношению свободного члена к старшему коэффициенту. Доказательство Сначала выясним, действительно ли такое уравнение имеет два корня в том числе, два совпадающих :. Да, это так, ведь при любых действительных значениях коэффициентова значит и дискриминант неотрицателен. Таким образом, еслито уравнение имеет два корня, если жето оно имеет только один корень. В частности, еслито корень будет один: Отсюда, прежде, чем решать какое-либо квадратное уравнение, следует проверить возможность применения к нему этой теоремы: сравнить сумму старшего коэффициента и свободного члена со вторым коэффициентом. Корни квадратного уравнения, сумма всех коэффициентов которого равна нулю Если в квадратном уравнении сумма всех его коэффициентов равна нулюто корнями такого уравнения являются и отношение свободного члена к старшему коэффициенту. Доказательство Прежде всего заметим, что из равенства следует, что Установим количество корней: При любых значениях коэффициентов уравнение имеет хотя бы один корень: действительно, ведь при любых значениях коэффициентова значит и дискриминант неотрицателен. Обратите внимание, что еслито уравнение имеет два корня, если жето только. Найдём эти корни: В частности, еслито уравнение имеет только один корень, которым является число. Отсюда, прежде, чем решать уравнение стандартными методами, следует проверить применимость к нему этой теоремы: сложить все коэффициент данного уравнения и посмотреть, не равна ли нулю эта сумма. Корни квадратного уравнения на множестве Уравнение с действительными коэффициентами Квадратное уравнение с коэффициентами может иметь от 0 до 2 вещественных в зависимости от значения при корней два, и они вычисляются по формуле 1 при корень один в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корняхкратности 2: при вещественных действительных корней. Существуют два корня, выражающиеся той же формулой 1 без использования извлечения корня из отрицательного числалибо формулой Уравнение с комплексными коэффициентами В комплексном случае квадратное уравнение решается по той же формуле 1 и указанным выше ее вариантам, но различимыми являются только два случая: нулевого дискриминанта один двукратный корень и ненулевого два простых корня. Корни приведённого квадратного уравнения Квадратное уравнение вида в котором старший коэффициент равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней 1 упрощается до Мнемонические правила: Из «»: «Минус» напишем сначала, Рядом с ним p пополам, «Плюс-минус» знак радикала, С детства знакомого. Ну, а под корнем, приятель, Cводится всё к пустяку: p пополам и в квадрате Минус прекрасное q. Из «» другой вариант : p, со знаком взяв обратным, На два мы его разделим, И от корня аккуратно Знаком «минус-плюс» отделим. А под корнем очень кстати Половина p в квадрате Минус q — и вот решенья, То есть корни уравненья. Теорема Основная статья: Формулировка сумма корней приведённого квадратного уравнения равна коэффициенту со знаком "минус", а произведение корней равно свободному члену В общем случае, то есть для не приведённого квадратного уравнения : Используя эту теорему, можно решать некоторые квадратные уравнения устно. Пример Проверка: Разложение квадратного трёхчлена на множители и теоремы, следующие из этого Если известны оба корня квадратного трёхчлена, его можно разложить по формуле 2 Доказательство. Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, корни и квадратного уравнения образуют соотношения с его коэффициентами:. Подставим эти соотношения в квадратный трёхчлен:. В случае нулевого дискриминанта это соотношение становится одним из вариантов. Из формулы 2 имеются два важных следствия: Следствие 1. Если квадратный трёхчлен раскладывается на линейные множители, то он имеет корни. Тогда, переписав это разложение, получим:. Сопоставив полученное выражение с формулой 2находим, что корнями такого трёхчлена являются. Если квадратный трёхчлен не имеет корней, то он не раскладывается на линейные множители. Действительно, если мы что такой трёхчлен раскладывается на линейные множителито согласно следствию 1 он имеет корни, что противоречит условию, а потому наше предположение неверно, и такой трёхчлен не раскладывается на линейные множители. Уравнения, сводящиеся к квадратным Алгебраические Уравнение вида является уравнением, сводящимся к квадратному. В общем случае оно решается заменой c последующим решением квадратного уравнения. Также при решении можно обойтись без замены, решив совокупность двух уравнений: и Еслито уравнение принимает вид: Такое уравнение называется биквадратным. Дифференциальные второго порядка подстановкой сводится к характеристическому квадратному уравнению: Если решения этого уравнения и не равны друг другу, то общее решение имеет вид:где и — произвольные постоянные. Для комплексных корней можно переписать общее решение, используя : Если решения характеристического уравнения совпадаютобщее решение записывается в виде: Уравнения такого типа часто встречаются в самых разнообразных задачах математики и физики, например, в или теории цепей. Примечания другой вариант — «несчастное» Математический энциклопедический словарь. Ссылки на Викискладе Weisstein, Eric Решение квадратных уравнений онлайн,Презентация, повествующая о десяти способах решения квадратных уравнений. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Имеет два корня, определяемых по формуле. Если … Большая советская энциклопедия — алгебраическое уравнение 2 й степени. В поле комплексных чисел Уравнение … Энциклопедический словарь Англо русский словарь по информационным технологиям. High Quality Content by WIKIPEDIA articles! Современные настенные пособия - обязательный атрибут каждого специализированного учебного кабинета. Это красочные таблицы многофункциональны - они помогут оформить кабинет и сделать процесс…Андреева Анна Олеговна. Пособие предназначено для целевой подготовки к сдаче экзамена по математике в формате ЕГЭ. Первая часть содержит краткую теорию в виде формул, таблиц, теорем по необходимым на экзамене….

Смотри также